שיעור 1. מושגים והגדרות

יחידה 12: הגדרות, משפטים והוכחות שיעור 1. מושגים והגדרות בעבר הגדרנו מושגים רבים: זוויות צמודות, זוויות קדקודיות, חפיפה של מצולעים, דמיון של מצולעים ועוד. נדון בשאלות מהי הגדרה, וכיצד מגדירים מושג במתמטיקה. מהי הגדרה? 1. כדי להדגים מהי הגדרה, נמציא מושג שאינו מוכר במתמטיקה ונגדיר אותו. הגדרה: "ח סומון" הוא מצולע שכל קדקודיו נמצאים על מעגל. - על אילו מושגים מבוססת ההגדרה? - ק בעו לכל אחת מהצורות הבאות אם היא "ח סומון". ה. ז. ג. א. ד. ו. ח. ב. חושבים על... 2. לפניכם שרטוטים של "זנב-שול שים". א. נ סו להגדיר "זנב-שול ש". ב. לפניכם שרטוטים נוספים של "זנב-שול שים". נ סו לנסח הגדרה שתתאים גם לשרטוטים אלה. 234 שילובים במתמטיקה יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות

3. נתייחס למושג "זנב-שול ש" שהגדרתם במשימה 2. א. לפניכם שרטוטים נוספים. אילו מהם מתאימים להגדרה שרשמתם? ב. האם אפשר להגדיר "זנב-שול ש" באמצעות שרטוטים? ה סבירו. הגדרה מתארת במילים מושג חדש על-סמך מושגים קודמים. מתמטיקאים מגדירים מושג חדש באמצעות מספר קטן ככל האפשר של מושגים קודמים שיכולים להגדיר את המושג. כשמגדירים על-סמך שרטוטים בלבד, מתקבלות הגדרות שונות. לכן אי-אפשר להגדיר מושגים על-סמך שרטוטים בלבד. כיצד מגדירים? 4. ה סבירו מדוע ההיגד הרשום אינו הגדרה של המושג. א. זווית ישרה היא זווית צמודה לזווית ישרה. ב. זווית קהה היא זווית שאינה זווית ישרה. ג. ריבוע הוא מרובע שכל צלעותיו שוות. חושבים על.... א. בעבר תיארנו זווית כך: שתי קרניים היוצאות מנקודה אחת יוצרות זווית. על אילו מושגים מבוסס תיאור הזווית? ב. אפשר להגדיר קרן כך: חלק הישר המתחיל בנקודה נקרא קרן. על אילו מושגים מבוססת הגדרת הקרן? ג. יעל ניסתה להגדיר ישר כך: ישר הוא קו אינסופי. אין לו עובי והוא רצוף. ש רטטו קו המתאים לתיאור של יעל ואינו ישר. מגדירים מושגים באמצעות מושגים שהוגדרו קודם. השרשרת הזו צריכה להתחיל ממושגים ראשוניים שאינם מבוססים על מושגים שהוגדרו קודם, ואותם מקבלים ללא הגדרה. דוגמה: נקודה וישר הם מושגים ראשוניים. יש הסוברים שהמילה הגדרה נגזרת מהמילה גדר כלומר, ההגדרה יוצרת גדר כדי לתחום מושג חדש באמצעות מושגים ידועים. יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות שילובים במתמטיקה 23

6. ק בעו אם הרשום בכל אחד מהסעיפים יכול להגדיר ריבוע. ה סבירו. א. צורה הבנויה מארבעה קטעים שווים באורכם. ב. מרובע שכל זוויותיו שוות בגודלן. ג. מרובע שכל זוויותיו ישרות. ד. מרובע שכל צלעותיו שוות באורכן וכל זוויותיו שוות בגודלן. ה. מרובע שהאלכסון מחלק אותו לשני משולשים ישרי-זווית חופפים. אוסף משימות 1. ר שמו הגדרה לכל צורה. א. משולש שווה-שוקיים. ב. חוצה זווית. ג. גובה במשולש. ד. זוויות מתחלפות בין שני ישרים וישר שלישי החותך אותם. 2. ה גדירו מרובע. ק בעו אילו מהצורות הבאות מתאימות להגדרה שרשמתם? ה. ז. ג. א. ד. ו. ח. ב. 3. ס מנו טענות נכונות וה סבירו. א. הגדרה היא תיאור של מושג חדש בעזרת מושגים קודמים. ב. בהגדרה אין להשתמש במושג עצמו. ג. שרטוטים של דוגמאות יכולים לשמש כהגדרה של צורה. ד. כשמגדירים קבוצה של צורות, אין להשתמש בצורות שמקיימות את ההגדרה ואינן שייכות לקבוצת הצורות. ה. כשמגדירים קבוצה של צורות, אין להשתמש בצורות שאינן מקיימות את ההגדרה ושייכות לקבוצת הצורות. 236 שילובים במתמטיקה יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות

4. ק בעו אם הרשום בכל אחד מהסעיפים יכול להגדיר מלבן. ה סבירו. א. מרובע ששלוש מזוויותיו ישרות. ב. מרובע ששלוש מזוויותיו שוות בגודלן. ג. מרובע שכל זוויותיו שוות בגודלן. ד. מרובע שצלעותיו הנגדיות מקבילות. ה. מרובע שהאלכסון מחלק אותו לשני משולשים ישרי זווית חופפים.. ה סבירו מדוע הרשום בכל אחד מהסעיפים הבאים אינו הגדרה של המושג המודגש. א. זוויות צמודות הן זוויות שיש להן שוק משותפת. ב. זווית קדקודיות הן זוויות שיש להן קדקוד משותף. ג. זווית חיצונית למשולש היא זווית שאחת משוקיה היא צלע של המשולש. ד. תיכון במשולש הוא קטע החוצה אחת מצלעות המשולש. 6. ת קנו את הגדרות המושגים שבמשימה. א. ג. 7. הגדרה: צורה הבנוייה משני משולשים שיש להם רק נקודה אחת משותפת נקראת דו-שלש. אילו מהצורות הבאות הן דו-שלשים? ה. ז. ט. ב. ד. ו. ח. י. יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות שילובים במתמטיקה 237

שיעור 2. מהו משפט במתמטיקה? במהלך לימוד גאומטרייה ניסחנו משפטים )משפטי חפיפה, משפט דמיון, ועוד(, אך עדיין לא דנו בשאלה מהו משפט במתמטיקה. בכל סעיף ב דקו אם אפשר לשאול "נכון" או "לא נכון". א. סכום הזוויות במרובע הוא 360. ב. ספר גאומטרייה לכיתה ט. ג. מספר האלכסונים במצולע שווה למספר הצלעות שלו. נדון בשאלה מהו משפט במתמטיקה, ונבחין בין משפט במתמטיקה למשפט בשפה המדוברת. מהו משפט? ק בעו בכל סעיף אם אפשר לשאול לגבי הביטוי הרשום "נכון" או "לא נכון". 1. ד. מתמטיקה משולבת כיתה ט חלק א. א. כשיורד גשם, יש עננים בשמים. ה. מה סכום הזוויות במרובע? ב. במשולש כל הזוויות שוות בגודלן. משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. ו. ג. במחומש יש אלכסונים. טענה במתמטיקה בנויה מנתונים ומסקנות, לכן אפשר לשאול אם היא "נכונה" או "אינה נכונה", כלומר אם המסקנות נובעות מהנתונים או לא. כל טענה במתמטיקה ניתנת לניסוח באמצעות המילים "אם-אז" המפרידות בין הנתונים למסקנות. דוגמה: אם המצולע הוא מחומש, אז מספר אלכסוניו שווה למספר צלעותיו. טענה נכונה נקראת משפט. 2. נ סחו בעזרת "אם-אז" את הטענות ממשימה 1 )שעבורן אפשר לשאול "נכון" או "לא נכון"(. נתונים ומסקנות חושבים על... 3. ש רטטו ור שמו את הנתון והמסקנה בכתיב מתמטי. דוגמה: אם המשולש שווה-שוקיים, אז זוויות הבסיס שוות בגודלן. נתון = מסקנה = א. אם במשולש הזווית קהה, אז שתי הזוויות האחרות חדות. ב. אם במשולש שלוש הזוויות שוות בגודלן, אז המשולש שווה-צלעות. 238 שילובים במתמטיקה יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות

4. ב דקו אם המסקנה נובעת מהנתונים וה סבירו. א. נתון דינה נמוכה מרחל. ברכה נמוכה מדינה. מסקנה ברכה נמוכה מרחל. ב. נתון יוסי נמוך מדני. רפי נמוך מדני. מסקנה רפי נמוך מיוסי. ג. נתון ישר a חותך את ישר. b ישר b חותך את ישר. c מסקנה ישר c חותך ישר a.. ב דקו אם המסקנה נובעת מהנתונים. אם כן, ה סבירו. אם לא, תנו דוגמה נגדית )דוגמה שבה המסקנה אינה מתקיימת אף כי הנתונים מתקיימים(. א. אם מחלקים זווית חדה לשתי זוויות שוות בגודלן, אז כל אחת מהן קטנה מ- 4. ב. אם שתי זוויות במשולש חדות, אז הזווית השלישית קהה. ג. זווית צמודה לזווית חדה היא זווית-קהה. תזכורת חפיפה על פי צלע-זווית-צלע: אם שתי צלעות במשולש אחד שוות באורכן לשתי צלעות במשולש אחר, וגם הזוויות הכלואות בין הצלעות האלה שוות בגודלן, אז המשולשים חופפים. )צ.ז.צ.( חפיפה על פי זווית-צלע-זווית: אם שתי זוויות במשולש אחד שוות בגודלן לשתי זוויות במשולש אחר, וגם הצלעות הנמצאות בין הזוויות האלה שוות באורכן, אז המשולשים חופפים. )ז.צ.ז.( חפיפה על פי צלע-צלע-צלע: אם שלוש צלעות במשולש אחד שוות באורכן לשלוש צלעות במשולש אחר, אז שני המשולשים חופפים. )צ. צ. צ.( חפיפה לפי ניצב ויתר: אם שני משולשים ישרי-זווית שווים באורכי אחד הניצבים והיתר, אז המשולשים חופפים. 6. בכל סעיף אפשר להסיק מהנתונים המסומנים כי המשולשים חופפים. ר שמו את הנתונים והמסקנה בכתיב מתמטי וצ יינו על-סמך איזה משפט אפשר להסיק את החפיפה. א. ב. N 7. בכל סעיף ש רטטו, נ סחו את הטענה בעזרת "אם-אז", ר שמו את הנתונים והמסקנה בכתיב מתמטי וה סבירו מדוע הטענה נכונה. א. במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות בגודלן. ב. במשולש שווה-שוקיים התיכון לבסיס חוצה את זווית הראש. יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות שילובים במתמטיקה 239

אוסף משימות 1. נ סחו את הטענות הבאות באמצעות "אם-אז". א. כשחם צריך לשתות הרבה. ב. אם אין כדור לא ניתן לשחק כדורגל. ג. בחורף יורד גשם. ד. כל הילדים מעל גיל 6 חייבים ללכת לבית הספר. ה. תלמיד שאינו מכין שיעורי בית במתמטיקה נכשל במבחן. ו. משולש שבו יש שתי זוויות חדות הוא משולש חד-זוויות. 2. ב דקו אם המסקנה נובעת מהנתונים. אם כן, ה סבירו. אם לא, ת נו דוגמה נגדית )דוגמה המראה שהטענה אינה נכונה(. א. אם סכום הגדלים של שתי זוויות הוא 180, אז הן זוויות צמודות. ב. אם זוויות בעלות קדקוד משותף שוות בגודלן, אז הן זוויות קדקודיות. ג. אם מחלקים זווית קהה לשלוש זוויות שוות בגודלן, אז כל אחת מהן קטנה מ- 60 וגדולה מ- 30. ד. אם זוויות בעלות קדקוד משותף שונות בגודלן, אז הן אינן זוויות קדקודיות. 3. בכל סעיף, ר שמו את הנתונים והמסקנה בכתיב מתמטי וה סבירו מדוע המשפט נכון. β α δ γ א. אם אחת הזוויות בין שני ישרים נחתכים היא ישרה, אז גם שלוש הזוויות האחרות ישרות. ב. אם חוצה את הזווית הקהה, אז גדולה מ- 4. G ג. אם חוצה את הזווית הקהה, חוצה את זווית G ו-, חוצה את אז G היא זווית חדה. א. 4. בכל סעיף אפשר להסיק מהנתונים המסומנים, כי יש זוג משולשים חופפים. ר שמו את הנתונים ואת המסקנה בכתיב מתמטי וצ יינו על-סמך איזה משפט אפשר להסיק את החפיפה. ב. ג. ד. K 240 שילובים במתמטיקה יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות

. ר שמו את הנתונים והמסקנה בכתיב מתמטי וה סבירו מדוע המשפט נכון. א. אם שני משולשים חופפים, אז אורכי הגבהים לצלעות K K המתאימות שווים. ב. אם שני משולשים חופפים, אז השטחים שלהם שווים. 6. בכל סעיף ש רטטו, נ סחו את הטענה בעזרת "אם-אז", ר שמו את הנתונים והמסקנה בכתיב מתמטי וה סבירו מדוע הטענה נכונה. א. במשולש שווה-שוקיים הגובה לבסיס חוצה את זווית הראש. ב. במשולש שווה-שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם תיכון.. הם גבהים לשוקיים במשולש שווה-שוקיים ו- 7. א. ר שמו את הנתונים והמסקנה בכתיב מתמטי. ב. ה סבירו מדוע. ג. ה סבירו מדוע. 8. נתון כי כל החתולים ששמם שחורי הם שחורים. א. החתול של נחמה שחור. האם אפשר להסיק מהנתון ששמו שחורי? ב. החתול של רוחמה איננו שחור. האם אפשר להסיק מהנתון ששמו איננו שחורי? 9. נתון כי כלב נובח אינו נושך. כמו כן, נתון כי כלב שבע אינו נובח. איזו מהמסקנות הבאות נכונה? א. כלב שבע אינו נושך. ג. כלב נובח אינו שבע. ב. כלב שאינו נובח שבע. ד. כלב נושך אינו שבע. יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות שילובים במתמטיקה 241

שיעור 3. שרשרות של הוכחות בשרטוט שלפניכם חוצה את הזווית ואת הזווית.KL נתונים נוספים מסומנים בשרטוט. )קטעים שווים באורכם מסומנים באותו סימון.( כמה זוגות של משולשים חופפים בשרטוט? S K L T נזהה משולשים חופפים, נוכיח ונסיק מסקנות. במשימות 4-1 נתייחס לשרטוט במשימת הפתיחה. ר שמו בכתיב מתמטי את כל זוגות המשולשים החופפים שמצאתם: 1. ה קפידו על רישום הקדקודים בהתאמה. חושבים על... K 1 2 1 2 L T N 2. ה עתיקו את השרטוט..KL במרובע ו- חוצה את הזוויות נוכיח כי משולש K חופף למשולש.L א. ה עתיקו וה שלימו מה נתון ומה צריך להוכיח. 1 נתון = 1 = צ"ל K ב. ה עתיקו, הוסיפו שני שוויונות, וה שלימו את ההוכחה. תנאי נימוק 1 נתון = 2 K לפי משפט K = L מסקנה ג. K = L נ מקו. ד. האם מצאתם מסקנה נוספת מחפיפת המשולשים? אם כן, מהי? 242 שילובים במתמטיקה יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות

נוהגים לרשום הוכחה כך: רושמים נתונים. רושמים מה שצריך להוכיח )צ"ל(. רושמים את שלבי ההוכחה ומציינים ליד כל שלב נימוקים המצדיקים אותו. רושמים את המסקנה ומנמקים. K 1 2 L S 3. א. רשמו שלושה תנאים המוכיחים כי TL K )היעזרו במסקנה מהחפיפה במשימה 2.( T 1 2 K 1 2 L S ב. הוכיחו: SLT K T 1 2 בעקבות... 4. הוכיחו את החפיפה של זוגות משולשים נוספים. )היעזרו במסקנות מהחפיפות שהוכחתם.( א. K SL ב. T S S K L K L T T יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות שילובים במתמטיקה 243

במשימות הקודמות יצרנו שרשרת של הוכחות שבה כל הוכחה, החל מההוכחה השנייה, מבוססת על מסקנות מההוכחות הקודמות. דוגמה: נוכיח את החפיפה של המשולשים T ו- ממשימה 4. תנאי נימוק = T נתון = צלע משותפת בשני המשולשים K L T S = T נובע מחפיפת המשולשים במשימה 3 T K לפי משפט ז.צ.ז. הנחות יסוד בגאומטרייה יוצרים שרשרות של משפטים שבהם מוכיחים כל משפט על-סמך משפטים ומסקנות קודמים. מתחילים את השרשרת מהנחות שעבורן אין משפטים קודמים. הנחות כאלה נקראות הנחות יסוד )אכסיומות(. בעבר השתמשנו בהנחות כאלה כמובנות מאליהן בלי לציינן במפורש. דוגמה: הנחת יסוד: בין כל שתי נקודות עובר קו ישר יחיד. חושבים על.... טענה: שלוש נקודות שאינן על ישר אחד הן קדקודים של משולש יחיד. א. הוכיחו את הטענה על-סמך הנחת היסוד שבמסגרת. ב. ה עתיקו את ארבע הנקודות פעמיים, וש רטטו שני מרובעים שונים שקדקודיהם.,,, ג. סיון אמרה: ארבע נקודות שאף שלוש מהן אינן על ישר אחד הן קדקודים של מרובע יחיד. האם הטענה נכונה? ה סבירו. ד. כמה מרובעים שונים שקדקודיהם בארבע הנקודות המשורטטות בסעיף ב, אפשר לשרטט? 244 שילובים במתמטיקה יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות

אוקלידס, המכונה "אבי הגאומטרייה", היה מתמטיקאי יווני שחי לפני כ- 2,300 שנה וחיבר סדרה של 13 ספרים בשם "יסודות". בספרים אלה אוקלידס סיכם, ערך וסידר את הידע המתמטי שנצבר עד לאותה תקופה בתחומים הקשורים לגאומטרייה ולתכונות של מספרים. תרומתו הגדולה של אוקלידס הייתה בביסוס המבנה הדדוקטיבי במתמטיקה. המבנה הדדוקטיבי מבוסס על הוכחת טענות באמצעות טענות קודמות, אשר הוכחו על-ידי הטענות שקדמו להן, וכך עד להנחות היסוד. הרחבת המבנה הדדוקטיבי מתבצעת על-ידי ניסוח משפטים שנכונותם נקבעת בהסתמך על המערכת הבסיסית ועל משפטים שהוכחו קודם. אוסף משימות 1. בכל שרטוט מסומנים נתונים. ה עתיקו את השרטוט. רשמו בכתיב מתמטי את הנתונים ומה צריך להוכיח. הוכיחו כי המשולשים חופפים. צ יינו על איזה משפט מבוססת המסקנה. א. ב. 2. הוא אלכסון במרובע שכל צלעותיו שוות באורכן. א. ר שמו את הנתונים בכתיב מתמטי. הוכיחו: נ מקו את המסקנה: = ב. ש רטטו את האלכסון וס מנו את נקודת החיתוך של האלכסונים באות. הוכיחו: )היעזרו במה שהוכחתם בסעיף א.( הוכיחו: יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות שילובים במתמטיקה 24

3. לפי הנתונים המסומנים בשרטוט המשולשים חופפים. ר שמו את הנתונים והמסקנה בכתיב מתמטי. צ יינו על איזה משפט חפיפה מבוססת המסקנה. ג. ד. ב. א. 1 2 1 2.4 נתון = = א. הוכיחו: ב. הוכיחו: )היעזרו במסקנות מהחפיפה שהוכחתם בסעיף א.( ג. ש רטטו שני קטעים שווים באורכם: T = K )ראו שרטוט.( הוכיחו: T K K T Y. במרובע YN מסומנים נתונים. מסקנה המשולשים חופפים. א. רשמו את הנתונים ואת המסקנה בכתיב מתמטי. N ב. הוכיחו את החפיפה. ג. נמ קו מדוע שווה בגודלה לזווית 246 שילובים במתמטיקה יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות

Y 6. במרובע YN מסומנים נתונים. מסקנה המשולשים חופפים. N א. ר שמו את הנתונים ואת המסקנה בכתיב מתמטי. ב. הוכיחו את החפיפה. ג. ר שמו מסקנה לגבי זוגות של צלעות שוות באורכן במרובע YN ונ מקו. N 7. במרובע N שני זוגות של צלעות שוות באורכן, כמסומן בשרטוט. א. ר שמו את הנתונים בכתיב מתמטי. ב. הוכיחו: N N ג. הוכיחו: N חוצה שתי זוויות נגדיות במרובע. = נתון א..8 = ה עתיקו וס מנו את הנתונים בשרטוט. האם אפשר להסיק שהמשולשים חופפים? אם כן, הוכיחו. אם לא, ש רטטו דוגמה נגדית )דוגמה המראה שהנתונים אינם מספיקים(. = נתון ב. = אמצע ה עתיקו וס מנו את הנתונים בשרטוט. האם אפשר להסיק שהמשולשים חופפים? אם כן, הוכיחו. אם לא, ש רטטו דוגמה נגדית. α β 9. נתון אמצע הקטע. β = α הוכיחו: א. ב. = יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות שילובים במתמטיקה 247

10. א. כמה מחומשים שונים שקדקודיהם בנקודות,,,, אפשר לשרטט? ב. כמה מחומשים שונים שקדקודיהם בנקודות K,N,H,G,F אפשר לשרטט? ה סבירו. F K G H N 11. לפניכם "הוכחה חזותית" המראה כי: = 64 6. מ צאו את הטעות. שטח הריבוע שבשרטוט א משבצות = 64 8 8 x ה עתיקו את הריבוע על דף משבצות. ג זרו את ארבעת החלקים ( IV,III,II,I ) וה ניחו אותם כמשורטט בשרטוט ב. 13 2 = 32. השטח המורכב מחלקים I ו- :II משבצות השטח המורכב מחלקים III ו- IV גם הוא 32. משבצות. לכן שטח כל ארבעת החלקים יחד הוא 6 משבצות. הייתכן? שרטוט א שרטוט ב 8 II 3 I III 3 IV 3 3 I II III IV 3 8 248 שילובים במתמטיקה יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות

שיעור 4. לשם מה צריך הוכחות? ש ערו: האם ייתכן שארבעה גדלים )אורכי צלעות וגדלים של זוויות( במשולש אחד, יהיו שווים לארבעה גדלים )אורכי צלעות וגדלים של זוויות( במשולש אחר, ולמרות זאת המשולשים לא יהיו חופפים? נלמד את הצורך בהוכחות. במשימות בשיעור ובאוסף המשימות השרטוטים הם להדגמה, ומידות האורך נתונות בס"מ. 1. ח שבו את גודל הזווית השלישית בכל משולש וק בעו אם אפשר להסיק שהמשולשים חופפים. אם כן, ר שמו על-סמך איזה משפט. אם לא, ה סבירו. G G א. ג. 6 60 6 P 6 6 60 ב. ד. G G 78 37 78 6 78 37 78 6 חושבים על... 2. כמה נתונים שווים יש בכל זוג משולשים במשימה 1? האם ייתכן שארבעה גדלים במשולש אחד )אורך צלע וגדלים של 3 זוויות(, יהיו שווים לארבעה גדלים במשולש אחר )אורך צלע וגדלים של 3 זוויות(, ולמרות זאת המשולשים לא יהיו חופפים? ה סבירו. הנימוקים בגאומטרייה מבוססים על משפטים שנלמדו קודם. דוגמה: במשימה 1 הסתמכנו על משפט חפיפה ז.צ.ז. תוך כדי הקפדה על מיקום הזוויות המתאימות בשני המשולשים )הצלעות השוות באורכן צריכות להימצא בין הזוויות השוות בגודלן.( יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות שילובים במתמטיקה 249

תזכורת במשולשים דומים כל הזוויות שוות בגודלן בהתאמה, וקיים אותו יחס בין אורכי צלעות מתאימות. מסמנים דמיון באמצעות הסימן משפט אם בשני משולשים שני זוגות של זוויות שוות בגודלן, אז המשולשים דומים. K דוגמה: K כי = = K 3. א. מ דדו ומ צאו בשני המשולשים זוגות של זוויות השוות בגודלן. 44 H 44 106 106 ב. מ דדו את אורכי הצלעות הצבועות באדום ואת אורכי הצלעות הצבועות בירוק בשני המשולשים. מה מצאתם? כמה גדלים שווים )אורכי צלעות וגדלים של זוויות( יש בשני המשולשים? האם המשולשים חופפים? האם המשולשים דומים? נ מקו. ג. האם ייתכן שחמישה גדלים במשולש אחד )אורכי צלעות וגדלים של זוויות(, יהיו שווים לחמישה גדלים במשולש אחר )אורכי צלעות וגדלים של זוויות(, ושהמשולשים לא יהיו חופפים? ה סבירו. 4. האם ייתכן ששישה גדלים במשולש אחד, )אורכי צלעות וגדלים של זוויות( יהיו שווים לשישה גדלים במשולש אחר )אורכי צלעות וגדלים של זוויות(, ולמרות זאת המשולשים לא יהיו חופפים? ה סבירו. 20 שילובים במתמטיקה יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות

. ש רטטו מעגל שמרכזו וש רטטו קוטר. א. נ סו לשרטט באמצעות מד-זווית זווית שגודלה 110 קדקודה על המעגל ושוקיה עוברות דרך ו-. ב. נ סו לשרטט באמצעות מד-זווית זווית חדה שקדקודה על המעגל ושוקיה עוברות דרך ו-. ג. ש ערו: מה יכול להיות גודלן של זוויות שקדקודן על המעגל ושוקיהן עוברות דרך ו-? ד. ס מנו נקודה P על המעגל, ח ברו את הנקודה P עם ו-, מ דדו את הזווית. ה. ש רטטו זווית נוספת כזו ומ דדו אותה. ו. אם יש צורך, ת קנו את השערתכם בסעיף ג. תזכורת: במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות בגודלן. חושבים על... 6. יעל אמרה: זווית שקדקודה על מעגל ושוקיה עוברות דרך קצות קוטר, היא תמיד זווית ישרה. כדי להשתכנע ולהסביר מדוע הטענה של יעל תמיד נכונה, יש להוכיח אותה. ה עתיקו את השרטוט וח ברו את. הוכיחו את השערתכם. השערות אינטואיטיביות אינן בהכרח נכונות. רק הוכחה מאפשרת להצדיק ולהסביר תוצאות העשויות להיראות מפתיעות. יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות שילובים במתמטיקה 21

.7 א. נתון = = צ"ל ה עתיקו את התרשים וה שלימו משפט חפיפה מתאים. נתונים מסקנה ב. נתון = = ר שמו שלושה גדלים שווים בשני המשולשים. האם אפשר להסיק שהמשולשים חופפים? ה סבירו. אם כן, הוכיחו. אם לא, ש רטטו דוגמה נגדית. אוסף משימות 1. בכל סעיף הצורה מחולקת על-ידי קו פנימי לשני משולשים. ר שמו גדלים שווים )אורכי צלעות וגדלים של זוויות( בשני המשולשים. ק בעו אם אפשר להסיק שהמשולשים חופפים. נ מקו. ב. נתון = א. נתון = = ד. נתון = = ג. נתון = 22 שילובים במתמטיקה יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות

2. ח שבו את הגדלים של זוויות המשולש לפי הנתונים הרשומים בשרטוט. א. קוטר במעגל שמרכזו. ב. מרכז המעגל. ג. מרכז המעגל. 26 40 28 44 36 3. בכל סעיף ה עתיקו את השרטוט, ס מנו בו 3 גדלים המוכיחים שהמשולשים חופפים ונ מקו. ה עתיקו את התרשים וה שלימו את משפט החפיפה שבו השתמשתם. Y N א. נתון N = Y YN = NY מסקנה YN NY נתונים מסקנה Y ב. נתון = N YN = NY מסקנה YN NY נתונים מסקנה Y ג. נתון Y = N N Y = N מסקנה YN NY נתונים מסקנה משולש שווה-צלעות. נתון 4. = = מסקנה הוכיחו את החפיפה. יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות שילובים במתמטיקה 23

. א. האם ייתכן שבמשולש יהיו שלושה גבהים מחוץ למשולש? אם כן, ש רטטו משולש באמצעות סרגל ומד-זווית וש רטטו גם את הגבהים שלו. אם לא, ה סבירו. ב. האם ייתכן שבמשולש יהיו שלושה גבהים בתוך המשולש. אם כן, ש רטטו משולש באמצעות סרגל ומד-זווית וש רטטו גם את הגבהים שלו. אם לא, ה סבירו. ג. האם ייתכן שבמשולש יהיו שני גבהים בתוך המשולש וגובה שלישי מחוץ למשולש. אם כן, ש רטטו משולש באמצעות סרגל ומד-זווית וש רטטו גם את הגבהים שלו. אם לא, ה סבירו. 6. בכל סעיף ב דקו אם המסקנה נובעת מהנתונים. אם כן, הוכיחו. אם לא, ש רטטו דוגמה נגדית. א. נתון = תיכון לצלע מסקנה ב. נתון = תיכון לצלע מסקנה ג. נתון =. חוצה את זווית מסקנה ד. נתון =. חוצה את זווית מסקנה ה. נתון. חוצה את זווית מסקנה 24 שילובים במתמטיקה יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות

7. בכל סעיף ק בעו אם המשולשים חופפים ונ מקו. )אם יש צורך, ח שבו גודל נוסף.( ב. א. 3 3 2 3 G 2 G 3 4 8. נתונים שני משולשים דומים שאינם חופפים. אורכי שתיים מצלעות בס"מ רשומים בשרטוט. א. גם במשולש H יש צלעות שאורכן 4 ס"מ ו- 6 ס"מ. איזו צלע היא באורך 6 ס"מ ואיזו צלע היא באורך 4 ס"מ? ה סבירו. ב. ח שבו באמצעות דמיון משולשים את אורך הצלע השלישית בכל משולש. 4 H 6 יחידה - 12 הגדרות, משפטים והוכחות שילובים במתמטיקה 2